JavaScript的64位浮点数

一、JavaScript的64位浮点数

 JavaScript 内部，所有数字都是以64位浮点数形式储存，即使整数也是如此。

 所以，1与1.0是相同的，是同一个数。

1 === 1.0 // true

这就是说，JavaScript 语言的底层根本没有整数，所有数字都是小数（64位浮点数）。容易造成混淆的是，某些运算只有整数才能完成，此时 JavaScript 会自动把64位浮点数，转成32位整数，然后再进行运算。

由于浮点数不是精确的值，所以涉及小数的比较和运算要特别小心。

0.1 + 0.2 === 0.3

// false

0.3 / 0.1

// 2.9999999999999996

二、IEEE754 浮点数标准的制定背景 

早期人们提出浮点数定义时，每个计算机厂商会定义自己的浮点数规则，不同厂商对同一个数表示出的浮点数是不一样的。

这就会导致，一个程序在不同厂商下的计算机中做浮点数运算时，需要先转换成这个厂商规定的浮点数格式，才能再计算，这也必然加重了计算的成本。

于是，1985年，IEEE 组织推出了浮点数标准，就是我们经常听到的 IEEE754 浮点数标准，这个标准统一了浮点数的表示形式，并提供了 2 种浮点格式：

单精度浮点数 float：32 位，符号位 s 占 1 bit，指数 e 占 8 bit，小数数 f 占 23 bit

双精度浮点数 float：64 位，符号位 s 占 1 bit，指数 e 占 11 bit，小数 f 占 52 bit

三、JavaScript浮点数在内存中的结构

根据国际标准IEEE 754 ，JavaScript 浮点数的64个二进制位，从最左边开始，是这样组成的：

第一部分（蓝色）：用来存储符号位（sign），第1位：符号位，0表示正数，1表示负数

第二部分（绿色）：用来存储指数（exponent），第2位到第12位（共11位）：指数部分

第三部分（红色）：用来存储小数（fraction），第13位到第64位（共52位）：小数部分（即有效数字） 

符号位决定了一个数的正负，指数部分决定了数值的大小，小数部分决定了数值的精度。

四、 64位浮点数表示数字的公式

浮点数是采用科学计数法来表示一个数字的，它的格式可以写成这样：

(-1)^s f 2^e

符号部分 -1 or 1

 f的范围为1<=f<2 使用52位表示

指数有正有负，指数位长度为11比特，所以能表示的数字范围为0~2047

假设我们将十进制数 25.125 转换为浮点数，转换过程就是这样的（D代表十进制，B代表二进制）：

整数部分：25(D) = 11001(B)

小数部分：0.125(D) = 0.001(B)

用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)

所以符号位 s = 0，小数 f = 1.001001(B) = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 e = 4+1023(中间值) = 1027(D) = 10000000011(B)。

按照内存结构中浮点数定义的规则，填充到 64 bit 上。

五 、52位为什么可以表示53位小数（精度）

IEEE754规定小数部分第一位隐含为1，不写，因为所有二进制第一个有效数字都是1。

所以加上省略的1位，精度位数是 53 bit。所以在 0 ~ 2^53 内的整数都是有效数字，算上第1位符号位，就可以得到 -2^53 ~ 2^53 都是有效数字。

六、浮点数能精确表示的范围

Math.pow(2,53)  - 1 // 最大 

Number.MAX_SAFE_INTEGER // 常数表示

- (Math.pow(2,53)  - 1) // 最大 

Number.MIN_SAFE_INTEGER // 常数表示

七、Number的MAX_VALUE

我们知道了 js 中数的表示方法，那么他能表示的最大的数是多少呢，聪明的你肯定会想到是下面这个数：

0 11111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111

但是，这种情况在 IEEE754 标准中表示 NaN，最大的数其实是：

0 11111111110 1111111111111111111111111111111111111111111111111111

转换成二进制的科学计数法表示如下：

1.1111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 2^(2046 - 1023)

= 1.1111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 2^1023

= 11111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 2^971

= (2^53 - 1) * 2^971

= 1.7976931348623157e+308

我们在浏览器调试窗口里面验证下：

(Math.pow(2, 53) - 1) * Math.pow(2, 971) // 1.7976931348623157e+308

(Math.pow(2, 53) - 1) * Math.pow(2, 971) === Number.MAX_VALUE // true

八、Number的MAX_SAFE_INTEGER

MAX_SAFE_INTEGER 表示在 JavaScript 中最大的安全整数。所谓的安全，就是大于这个数的整数不一定可以精确表示。他的值其实是 2^53 - 1，表示成二进制为：

0 10000110100 1111111111111111111111111111111111111111111111111111

表示成二进制的科学计数法为：

1.1111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 2^52

= 11111111111111111111111111111111111111111111111111111

比这个数大一的数为：

100000000000000000000000000000000000000000000000000000

= 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000 * 2^53

在计算机中表示成:

0 10000110101 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 0

注意到我们省去掉了一位，按照向偶舍入的规则，不会产生进位。所以这个数还是可以精确表示的，没有问题。

我们再来看看比 MAX_SAFE_INTEGER 大二的数：

100000000000000000000000000000000000000000000000000001

= 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000001 * 2^53

在计算机中表示成:

0 10000110101 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 1

注意到我们省去掉了一位，按照向偶舍入的规则，还是不会产生进位。这个时候就有问题了，这个数跟刚才那个数竟然是相等的，我们来验证下：

const a = Number.MAX_SAFE_INTEGER

a + 1 === a + 2 // true

所以，在进行大数的相关运算的时候要小心了，最好是使用 BigInt 类型。